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非线性分数阶微分代数方程的波形松弛方法

  学校代号10530 0分类号 O241.81 导师姓名和职称肖爱国 教授 刚性微分方程数值解法二零一五年四月十五日 非线性分数阶微分代数方程的波形松弛方法 导师姓名和职称肖爱国 教授 刚性微分方程数值解法学位 申请 级别 理学硕士 学位 授予 单位 湘潭大学 论文 提交 日期 2015-4-15 Waveform relaxation method nonlinearfractional differential-algebraic equations Candidate Xiaoyan Zhu Supervisor RankProf. Aiguo Xiao A.P. Hongliang Liu College Mathematics ComputationalScience Program Computational Mathematics Specialization Numerical Solutions StiffDifferential Equations Degree Master ScienceUniversity Xiangtan University Date April 15th, 2015 摘要 分数阶算子越来越多地被用于科学与工程问题的描述,如反常扩散、软物 质、医学、无序媒体和信号分析等。与此同时,分数阶微分方程及其数值计算的 探讨逐步成为了研究的热点。分数阶(延迟)微分代数方程具有记忆性、受约束等 属性,这些给理论分析和数值计算带来了困难。本文主要针对非线性分数阶(延 迟)微分代数方程的离散型波形松弛方法进行讨论,给出其收敛性条件。具体内 容如下: 第一章介绍了分数阶微分方程研究现状;简单描述波形松弛方法的基本思想 和波形松弛方法关于几类微分方程的经典迭代格式。 第二章首先介绍了一种特征函数和几类分数阶导数的定义和性质;其次给出 非线性Caputo分数阶微分代数方程的波形松弛法的离散迭代格式,其中Caputo导 数用G-L方法离散;接着分析离散波形松弛迭代格式的收敛性条件;最后再用数 值试验验证方法的有效性。 第三章首先给出非线性Caputo分数阶延迟微分代数方程波形松弛法的离散 迭代格式,其中Caputo 导数用G-L方法离散;其次,因为系统有时滞现象,分两 种情况讨论离散波形松弛方法的收敛条件。由于第二种情况中得到的收敛条件 约束性强,实际应用中能适用的范围较小,故引入另一种分裂函数,得到新的约 束性较弱的收敛条件;最后再用数值试验进行验证方法的有效性。 关键词: 非线性; 分数阶微分代数方程; 波形松弛方法; 收敛性; 延迟. AbstractFractional calculus has been widely applied describingvarious engineering physicalproblems, anomalousdiffusion, medicine, soft matter, disor- der media signalprocessing, sametime, fractionaldifferential equations numericalmethods have attracted con- siderable attention, graduallybecome researchhot spot. Fractional (delay) differential-algebraic equations have bindingproperties so studytheoretical analysis numericalcalculation. articlemainly aims discretewaveform relaxation method nonlinearfractional (delay) differential-algebraic equations studyingits convergence conditions. Details firstchapter introduces researchstatus differentialequations fractionalorder first.Secondly, We describe basicidea waveformrelaxation method classicaliterative scheme waveformrelaxation method about several kinds differentialequations. secondchapter, we first give some basic definitions fractionalorder derivaties. discreteiterative schemes waveformrelaxation method nonlinearCaputo fractional differential algebraic equations. Among them, Caputoderivative Grunwald-Letnikovl(G-L) method. then,wealso analyze convergenceconditions discreteiterative schemes waveformrelaxation method. last,numerical examples thirdchapter, we first give discreteiterative schemes relaxationmethod nonlinearCaputo fractional delay differential-algebraic equations. Among them, Caputoderivative G-Lmethod. Sec- ondly, because timedelay phenomenon, we discuss convergencecondition discretewaveform relaxation method twocases. convergencecondition secondcase while applicablescope realproblem small.II So newdivision weakerconvergent conditions. last,numerical examples method.Keyword: Nonlinear; differential-algebraic equation; waveform relaxatioin; frac- tional; delay. III 1.1研究背景与意义. 1.2几类微分方程的波形松弛方法. 1.3本文的主要工作. 第二章非线性分数阶微分代数方程的离散波形松弛法. 2.1几类分数阶导数简介. 2.2非线性分数阶微分代数方程离散波形松弛法的收敛性分析. 102.2 数值试验. 16第三章非线性分数阶延迟微分代数方程的离散波形松弛法. 213.1 离散波形松弛方法的收敛性分析. 213.2 数值试验. 31总结与展望. 33参考文献. 33致谢. 40第一章 前言 本章首先阐述分数阶微分方程的研究背景,包括理论分析和数值方法;再简 单描述波形松弛方法的基本思想,并给出波形松弛方法关于几类微分方程的经典 迭代格式;最后,介绍本文的主要工作。 1.1 研究背景与意义 分数阶算子及分数阶微分方程越来越多地被应用于科学与工程中许多问题 的描述,如医学 [1]、反常扩散 3]、信号分析[4]、随机和无序媒体 们越来越重视对分数阶微分方程的研究,并获得了大量理论分析(特别是解的存在唯一性及稳定性)成果 [7–21, 30, 35, 36]。 类同于整数阶方程,只有少数简单的分数阶微分方程可以找到解析解的表达 式,且解的表达式用常用Green函数、Fox 函数和Mittag Leffler函数等特殊 函数表示[17–19]。所以,对分数阶微分方程数值方法进行研究有重要意义,并在 此方面已有许多研究成果 [22–29, 35–37]。 分数阶(延迟)微分代数方程已出现在电路、自动控制等领域,并有一些理 论研究,如稳定性分析等[56–60]。近年来,人们逐步关注迭代法用于求解分数阶 微分(代数)方程。2002年,Diethelm Ford[21]讨论了非线性Caputo分数阶 微分方程初值问题解的存在唯一性和稳定性,并指出解析解可以由Picard迭代得 出。2010年 Zurigat [38]指出,可以采用同伦分析法来求解分数阶微分代数 问题 Ibis和Bayram[61] 用变分迭代、Adomian分解方法、同伦分析方法求解分数阶微分代数方程,并进 行比较。2012年 Sweilam等 [37]关于带有两个不同时滞的分数阶Logistic 微分方 程采用了变分迭代法和Chebyshev谱方法,并用算例验证方法是高效的。 波形松弛法是求解在微分(代数)方程的一类重要迭代方法。早在1996年Jackiewicz [41–43]又关于微分代数方程用连续时间波形松弛方法迭代,并系统研究方法的收敛性。黄乘明、王海霞[44] 关于非线性微分代数方程提出了一种 离散波形松弛算法,并给出收敛条件。 波形松弛法在分数阶微分方程系统中也有广泛的应用。蒋耀林等[62–64]在2012 及2013年把波形松弛法应用于分数阶微分方程的研究。考虑线性Caputo 分数阶 微分方程初值问题 ,且给出方法收敛的条件,同时也研究了非线性分数阶微分方程波形松弛法的收敛性。2014年,蒋耀林等 [45]又研究了分数阶微分代数方程的 波形松弛方法,用连续时间方法分析线性和非线性问题的收敛性。 对于分数阶延迟微分代数方程波形松弛方法的研究非常少。2013年,李百玲[46]针对线性Caputo分数阶延迟微分代数系统 Ex(t)+Ny(t) +Fx(t 分析了收敛性条件,并由数值试验进行验证。还考虑了线性延迟微分代数方程的波形松弛方法,同样给出了收敛条件。 1.2几类微分方程的波形松弛方法 1.2.1 波形松弛方法的思想 20世纪80年代早期,Lelarasmee等 [47]提出了波形松弛(WR)方法用来求 解大型稀疏常微分方程组。此方法的基本思路源于Picard 迭代方法。 波形松弛方法一般分为两部分:首先是系统分割,通过恰当选取分裂函数, 将要求解的一个大系统分成解耦的子系统,并使解耦后的子系统保持原来系统的 某些特性;其次是松弛过程,即分别在每个子系统内,于整个时间区间内进行迭 代计算,直至收敛到解析解。该方法能做到并行求解,而且实际问题的并行化也 是大型工程应用领域的迫切需求,故此方法被广泛应用。下面用求解微分方程初 值问题来说明。 1.2.2 三类典型微分方程的波形松弛方法迭代 1987年,Miekkala与Nevanlinna [48]针对线性常微分方程初值问题 (1.1)先做一个分裂:A (1.2)给出了此迭代方法的收敛条件,同时根据矩阵A的具体分裂如JOR, Gauss Seidel,SOR, SSOR,分别给出了相应的收敛条件。 dx(t)dt (1.3)其中T 为给定的初值,x(t) 为未知向量。它的一般WR方法可表示为 dx(k+1) 值得注意的是,F的选取必须使微分方程容易求解,并且迭代公式(1.4)应有快速的收敛性。 分裂函数的选取不同,可以得到不同的波形松弛方法,下面简单介绍两种常 见的波形松弛方法: Gauss Seidel WR方法: dx k+1 它用按顺序求解一系列单变量微分方程代替了求解n个变量的微分方程。Jacobi WR方法: dx k+1 这时每一个求解的方程可以看成是单变量的方程,它把含有n个未知量的常微分方程组变成求解n个单变量的常微分方程。 比较可以看到,Gauss SeidelWR方法是典型的顺序方法,方程依次求 解。Jacobi WR 方法则是完全并行方法,每次迭代各方程彼此相互独立,可以同 时求解,迭代形式更简单,计算速度更快。此外,黄伏新 [50]还介绍了Newton波 形松弛方法,SOR波形松弛方法等。 Gander [51]基于波形松弛方法的基本思想进一步提出求解一大类偏微分方 程的并行算法,该文考虑了如下在Ω (1.5)先把Ω分为两个重叠的子域Ω (1.7)分析了方法的收敛性。此外,这种并行算法还可以求解对流扩散方程、热传导方 为了加快WR方法的收敛性,必须对其进行加速处理。基于一般的波形松弛方法在求解抛物线偏微分方程时收敛速度比较慢,Lubich等 [52]在1987年提出用 多重网格技术加速波形迭代方法。Jeltsch [53]在1991年提出多分裂的波形松 弛法来提高波形松弛法的并行性。1993年,Pohl [54] 又研究了多分裂波形松弛法 的收敛。在此基础上,窗口加速方法 [55]、超松弛加速方法、优化波形松弛方法、 预处理加速方法、多项式加速方法等 [49] 被进一步提出。 1.3本文的主要工作 目前针对于非线性分数阶(延迟)微分代数方程的数值方法研究并不多。关于 此类方程,蒋耀林等主要研究了连续波形松弛方法。虽然理论分析很完善,但是 实际求解此类系统还有困难。李百玲考虑了线性分数阶延迟微分代数方程的波 形松弛方法,我们自然会考虑非线性分数阶(延迟)微分代数方程的离散波形松 弛方法。具体内容如下: 第一章首先介绍分数阶微分方程研究现状;其次简单描述了波形松弛方法的 基本思想和波形松弛方法关于几类微分方程的经典迭代格式。 第二章首先给出几类分数阶导数的定义和性质;其次给出非线性分数阶微分 代数方程的波形松弛法的离散迭代格式,其中Caputo导数用G-L方法离散;接着 分析系统离散波形松弛方法的收敛性条件;最后再用数值试验进行验证方法的有 第三章首先给出非线性Caputo分数阶延迟微分代数方程的波形松弛法的离散迭代格式,其中Caputo 导数用G-L方法离散;其次,因为系统有时滞现象,分 两种情况讨论系统离散波形松弛方法的收敛条件。由于第二种情况中得到的收 敛条件约束性强,实际应用中能适用的范围较小,故引入另一种分裂函数,得到 新的相对约束性弱的收敛条件;最后再用数值试验进行验证方法的有效性。 第二章非线性分数阶微分代数方程的 离散型波形松弛方法 2.1 几类分数阶导数简介 关于分数阶导数的定义有很多,最常用的是RiemannLiouville 分数阶导 数、Caputo 分数阶导数和 Gr unwald 分数阶导数。下面我们会给出这三种分数阶导数定义和一些重要的性质[19]。首先介绍一种特殊函 数Gamma函数 [19]。 定义2.1.1 Gamma函数的定义如下 dz,Re(z) 性质2.1.1关于Gamma函数,本文会用到以下几个性质: T]上是连续函数时,α阶Riemann Liouville 导数定义为 RL I为恒等算子。定义2.1.3 T]上是连续函数时,α阶Caputo 导数定义为 定义2.1.4 )上连续时,α阶Gr unwald 导数定义为GL kh),其中 再来介绍几个重要的分数阶导数性质:性质2.1.2 RiemannLiouville 分数阶导数 Caputo分数阶导数都存在,则它们存在关系: 则有RL 则有GL 2.2非线性分数阶微分代数方程离散波形松弛法的 收敛性分析 考虑非线性Caputo分数阶微分代数方程 (2.1)其中 阶分数阶Caputo 导数,0 为未知函数且x(t) T],其中b(t),e(t)为输入函数,f和g的偏导数 均存在。 选择恰当的分裂方法,使得分裂函数F和G分别满足 G的偏导数存在。则式(2.1) 可以化为如下形式 (2.2)求解系统 (2.2) 的波形松弛方法(WR)为 (2.3)对分数阶Caputo导数用 Gr unwald Letnikov 10其中 对系统(2.3) 进行离散,就得到系统 (2.2) 的离散WR方法,其迭代格式为 (2.4)其中,b 可逆,则系统(2.4) 可化为 (2.5)下面来研究离散WR方法(2.5) 的收敛性。首先将函数F、G分别记为F(u (2.2)中的雅可比矩阵 yp可逆,则系统 (2.2) Grunwald Letnikov 方法求解系统(2.6) ,它的形式为 (2.7)11 联立式 (2.5) 和式 (2.7) ,可以得到 (2.8)进而可以化简为 (2.9)其中p (2.9)化为矩阵形式为 (2.10)定义2.2.1 (2.10)的迭代矩阵为 (2.11)下面记 4)的上界。这样,当h步长比较小时,可以进一步将式 (2.10) 简化为如下形式 (2.12)12 其中φ uu vv可由下面式子得出 根据式(2.11),有下面的等式成立 (2.13)其中 (2.13)左右两边同乘一个矩阵得到 (2.14)打开括号,并同时左乘( 代入P,Q的表达式整理得到 13的上界,则由式 (2.15) 可以得到不等式 (2.16)假设1 (2.16)式可知 (2.17)中右端2 2矩阵为M,现在来讨论M特征值的界。它的特征多项式ρ(ξ)可以计算出来 (2.18)其中 (2.19c)引理2.2.1[49] 对于实多项式x 定理2.2.1 若步长h满足下列条件 14 则离散WR方法(2.5)收敛。证明:由条件(2.19a)可以得到式(2.17),而由条件(2.19b),(2.19c)可知,矩 阵M特征值的绝对值小于1,即ρ(M) 1。式(2.17)中,Θ与M均为非负矩阵,且 1,即离散WR方法(2.5) 收敛。 15 2.3 数值试验 在本节中,我们将用离散波形松弛方法来求解几个非线性分数阶微分代数方 程的初值问题。 例2.1 考虑非线性Caputo分数阶微分代数方程初值问题 +4t+2t (2.20)初值为x

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